Mari kita mulai pertarungan antara juara bertahan Ring Zn melawan penantang baru Ring F[x].

Ring Z

  • Z : Himpunan semua bilangan bulat : {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
  • Z : Ring komutatif dg elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan
  • Diberikan bilangan bulat n, maka nZ : ideal dari ring Z
  • Z/nZ : ring (quotient) komutatif dg elemen satuan, Z/nZ = Zn
  • Z/nZ : field (lapangan) jika dan hanya jika n : bilangan prima

Ring F[x]

  • Diberikan field F, F[x] : Himpunan semua polinomial dg koefisien dalam F dan indeterminit x, dengan  koefisien tak nolnya sebanyak berhingga
  • F[x] : Ring komutatif dg elemen satuan terhadap operasi perkalian dan penjumlahan polinomial biasa
  • Diberikan polinomial f(x) dalam F[x], maka <f(x)> ideal dari F[x]
  • F[x]/<f(x)> : Ring (quotient) komutatif dg elemen satuan
  • F[x]/<f(x)> : Field jika dan hanya jika f(x) polinomial tak tereduksi (irreducibel)

Untuk sifat-sifat yg lain, seperti Daerah Integral, Daerah Euclide, Daerah Faktorisasi Tunggal, Ideal Prima, Ideal Maksimal, dsb… Anda bisa mencoba untuk menyelidikinya sendiri… :)