Ada seorang temanku bertanya, “Gini mas, mengapa koq kurva elliptik y^2 = x^3 + ax + b disyaratkan nilai diskriminannya tidak nol, yaitu 4a^3+27b^2 \neq 0, muncul rumus diskriminan seperti itu dari mana mas?…”

Hmmm… setelah membuka kembali referensi tentang kurva elliptik, saya menjumpai pendefinisian diskriminan secara umum melalui definisi persamaan Weierstrass. Akan tetapi saya mencoba untuk mencari versi lain yang lebih mudah. Jadi, intinya agar persamaan x^3 + ax + b mempunyai akar yang berbeda atau tidak mempunyai suatu akar yang sama (ganda).

Misalkan x^3 + ax + b mempunyai akar yang sama, maka x^3 + ax + b dapat difaktorkan, misalkan x^3 + ax + b = (x-c)(x-d)^2. Maka
x^3 + ax + b = (x-c)(x^2 - 2dx + d^2) = x^3 -(2d+c)x^2 + (d^2 + 2cd)x - cd^2

Dari sini diperoleh:

  1. 0 = 2d+c
  2. a = d^2 + 2cd
  3. b = -cd^2

Dari (1) diperoleh c = -2d, substitusikan ke persamaan (2), yaitu a = d^2 + 2(-2d)d = d^2 - 4d^2 = -3d^2, diperoleh a = -3d^2. Selanjutnya, subtitusikan juga ke persamaan (3), yaitu b= -(-2d)d^2 = 2d^3, diperoleh b = 2d^3.

Dari kedua persamaan a = -3d^2 dan b = 2d^3 akan dicari hubungan antara a dan b, oleh karena itu pangkat dari d terlebih dahulu disamakan, yaitu dengan memangkatkan 3 dan 2 berturut-turut, yaitu a^3 = -27d^6 dan b^2 = 4d^6. Sehingga diperoleh:

\frac{a^3}{b^2} = \frac{-27d^6}{4d^6} = \frac{-27}{4}

Dari sini diperoleh: 4a^3 = -27b^2, atau 4a^3 + 27b^2 = 0. Dengan cara yang sama diperoleh juga bahwa jika 4a^3 + 27b^2 = 0, maka x^3 + ax + b mempunyai akar yang sama. Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan bahwa x^3 + ax + b mempunyai akar yang berbeda jika dan hanya jika 4a^3 + 27b^2 \neq 0.

Agar operasi biner penjumlahan titik dalam kurva elliptik itu well defined, maka x^3 + ax + b haruslah akar-akarnya berbeda, yaitu jika memenuhi 4a^3 + 27b^2 \neq 0.

Catatan:
Kurva elliptik yg digunakan di atas didefinisikan atas bilangan real (field R), dan sepertinya berlaku juga untuk field yg lain, hanya saja simbol dan notasinya berbeda. Mohon koreksinya apabila ada yang salah… :)