zakimath’s blog

Dec

Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space)

zakimath Algebra 2011-12-15

Diberikan $V$ ruang vektor atas $\mathbb{R}$ . Suatu fungsi $< , > : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ disebut hasil kali dalam (inner product) jika memenuhi empat aksioma berikut:

$(\forall u,v \in V) <u,v> = <v,u>$
$(\forall u,v,w \in V) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>$
$(\forall \alpha \in \mathbb{R})(\forall u,v \in V) <\alpha u,v>= \alpha <u,v>$
$(\forall u \in V) <u,u> \geq 0$ , dan $<u,u>=0$ jika dan hanya jika $u = \theta$ (vektor nol)

Ruang vektor $V$ atas $\mathbb{R}$ yang dilengkapi dengan suatu hasil kali dalam disebut dengan ruang hasil kali dalam (inner product space).

Contoh:

Ruang vektor $\mathbb{R}^2$ atas $\mathbb{R}$ merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam $<u,v> = a_1b_1 + a_2b_2$ , untuk $u=(a_1,a_2), v=(b_1,b_2) \in \mathbb{R}^2$ . Juga merupakan ruang hasil kali dalam dengan $<u,v> = 2a_1b_1 + 3a_2b_2$ .
Secara umum, ruang vektor $\mathbb{R}^n$ atas $\mathbb{R}$ merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam $<u,v> = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$ , untuk $u=(a_1,a_2,...,a_n), v=(b_1,b_2,...,b_n) \in \mathbb{R}^n$ . Ruang hasil kali dalam $\mathbb{R}^n$ terhadap hasil kali dalam tersebut dinamakan dengan Ruang Euclid (Euclidean Space).