zakimath’s blog

Dec

Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space)

zakimath Algebra 1 comment

Diberikan $V$ ruang vektor atas $\mathbb{R}$ . Suatu fungsi $< , > : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ disebut hasil kali dalam (inner product) jika memenuhi empat aksioma berikut:

$(\forall u,v \in V) <u,v> = <v,u>$
$(\forall u,v,w \in V) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>$
$(\forall \alpha \in \mathbb{R})(\forall u,v \in V) <\alpha u,v>= \alpha <u,v>$
$(\forall u \in V) <u,u> \geq 0$ , dan $<u,u>=0$ jika dan hanya jika $u = \theta$ (vektor nol)

Ruang vektor $V$ atas $\mathbb{R}$ yang dilengkapi dengan suatu hasil kali dalam disebut dengan ruang hasil kali dalam (inner product space).

Contoh:

Ruang vektor $\mathbb{R}^2$ atas $\mathbb{R}$ merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam $<u,v> = a_1b_1 + a_2b_2$ , untuk $u=(a_1,a_2), v=(b_1,b_2) \in \mathbb{R}^2$ . Juga merupakan ruang hasil kali dalam dengan $<u,v> = 2a_1b_1 + 3a_2b_2$ .
Secara umum, ruang vektor $\mathbb{R}^n$ atas $\mathbb{R}$ merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam $<u,v> = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$ , untuk $u=(a_1,a_2,...,a_n), v=(b_1,b_2,...,b_n) \in \mathbb{R}^n$ . Ruang hasil kali dalam $\mathbb{R}^n$ terhadap hasil kali dalam tersebut dinamakan dengan Ruang Euclid (Euclidean Space).

Aljabar Linear, Inner Product, Ruang Vektor

Dec

Matriks Representasi Transformasi Linear

zakimath Algebra Add your comment

Hmmm…. dari judulnya mungkin sudah bisa ditebak, yaitu apa? hehe… Yupz, ternyata sebarang transformasi linear itu dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks lho, percaya ndak? Kalo gk percaya silahkan cekidot!

Sebelumnya ane kasih contoh dulu gan, diberikan $\mathbb{R}^3$ dan $\mathbb{R}^2$ keduanya ruang vektor atas $\mathbb{R}$ terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan $B_1 = \lbrace (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^3$ dan $B_2 = \lbrace (1,0),(0,1) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^2$ .

Untuk $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ , diperoleh bahwa

$(x,y,z) = \alpha_1(1,0,0)+\alpha_2(0,1,0)+\alpha_3(0,0,1)$
dengan $\alpha_1 = x$ , $\alpha_2 = y$ dan $\alpha_3 = z$ .

Read the rest of this entry

Aljabar Linear, Basis, Ruang Vektor, Transformasi Linear

Nov

Berkenalan dengan Grup Siklik

zakimath Algebra Add your comment

Dalam mempelajari Teori Grup, kita sudah dikenalkan dengan berbagai macam macam grup, contohnya seperti dua grup berikut ini:

Grup $\mathbb{Z}_n = \lbrace 0,1,2,...,n-1 \rbrace$ (terhadap operasi penjumlahan modulo $n$ )
Grup $\mathbb{Z}_p^{*} = \lbrace 1,2,3,...,p-1 \rbrace$ , dengan $p$ prima (terhadap operasi perkalian madulo $p$ )

Perhatikan grup $\mathbb{Z}_4 = \lbrace 0,1,2,3 \rbrace$ , ternyata setiap anggota dari $\mathbb{Z}_4$ dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan sebanyak berhingga dari $1 \in \mathbb{Z}_4$ , yaitu:

$0 = 1+1+1+1$
$1 = 1$
$2 = 1+1$
$3 = 1+1+1$

Read the rest of this entry

generator, grup abelian, grup komutatif, teori grup

Nov

Apa itu Quasigroup?

zakimath Algebra Add your comment

Beberapa waktu yg lalu, saya sempet membaca artikel mengenai aplikasi quasigroup pada kriptografi. Dari namanya koq ada group-nya? tentu bayangan saya itu merupakan suatu struktur aljabar semacam grup atau semigrup. Setelah buka-buka wikipedia, saya memperoleh definisi dari quasigrup sebagai berikut:

Definisi: Suatu quasigroup $(Q,*)$ adalah suatu himpunan tidak kosong $Q$ yang dilengkapi dengan suatu operasi biner “ $*$ ” sedemikian hingga untuk setiap $a,b \in Q$ terdapat dengan tunggal $x,y \in Q$ sedemikian hingga $a*x=b$ dan $y*a=b$ .

Sebagai contoh:

Himpunan semua bilangan bulat $\mathbb{Z}$ merupakan quasigroup terhadap operasi pengurangan bilangan “ $-$ “.
Himpunan semua bilangan real tidak nol $\mathbb{R}^{*}$ merupakan quasigroup terhadap operasi pembagian (division).

Untuk sifat-sifat dari quasigroup, silahkan baca di: http://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup

quasigroup

Aug

Algoritma Pembagian pada Ring Polinomial atas Lapangan (Field)

zakimath Algebra 4 comments

Dalam kriptografi seringkali digunakan konstruksi finite field (lapangan hingga) menggunakan ring polinomial dan polinomial iredusibel atas lapangan hingga. Salah satu sifat penting yang sering digunakan dalam ring polinomial tersebut adalah Algoritma Pembagian (Division Algorithm). Berikut ini diberikan sekilas mengenai Algoritma Pembagian. Diberikan $K$ adalah suatu field (lapangan).

Algoritma Pembagian pada $K[x]$ : Jika $f,g \in K[x]$ dengan $g \neq 0$ , maka terdapat dengan tunggal $q,r \in K[x]$ sedemikian hingga $f=qg+r$ dengan $r=0$ atau $deg(r) < deg(g)$ .

Bukti:
Misalkan $n = deg(f)$ dan $m=deg(g)$ dengan

$f=a_0 + a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$
$g=b_0 + b_1x+b_2x^2+...+b_{m-1}x^{m-1}+b_mx^m$

Read the rest of this entry

divison algorithm, polynomial rings over field

Aug

Sekilas Tentang Free Abelian Group

zakimath Algebra Add your comment

Telah diketahui bahwa $\lbrace (0,1),(1,0) \rbrace$ membangun grup $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ , sebab untuk setiap $(n,m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ dapat dinyatakan dengan $(n,m)=n(1,0)+m(0,1)$ . Himpunan pembangun ini mempunyai sifat bahwa setiap elemen $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ dapat dinyatakan secara tunggal ke dalam bentuk $n(1,0)+m(0,1)$ , yaitu koefisien $n,m \in \mathbb{Z}$ adalah tunggal.

Read the rest of this entry

abelian group, bases, group theory

Aug

Subgrup Sylow, Teorema Cauchy, dan Teorema Sylow

zakimath Algebra Add your comment

Diberikan $G$ grup hingga yang mempunyai order $n$ . Diberikan bilangan prima $p$ . Suatu subgrup $H$ dari $G$ disebut $p$ -subgrup jika $H$ mempunyai order $p^k$ , untuk suatu bilangan bulat nonnegatif $k$ . Suatu subgrup $H$ dari $G$ disebut $p$ -subgrup Sylow jika $H$ mempunyai order $p^k$ , untuk suatu bilangan bulat nonnegatif $k$ sedemikian hingga $p^k$ membagi $n$ dan $p^{k+1}$ tidak membagi $n$ , atau dengan kata lain, $p^k$ adalah bentuk pangkat terbesar dari $p$ sedemikian hingga $p^k$ membagi $n$ . Jika $G$ berorder suatu pangkat dari $p$ , maka $G$ disebut dengan $p$ -grup.