zakimath's blog http://zaki.math.web.id Matematika, Aljabar, Kriptografi & Keamanan Informasi Sun, 18 Dec 2011 12:00:59 +0000 http://wordpress.org/?v=2.6.5 en Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space) http://zaki.math.web.id/2011/12/15/ruang-hasil-kali-dalam-inner-product-space/ http://zaki.math.web.id/2011/12/15/ruang-hasil-kali-dalam-inner-product-space/#comments Thu, 15 Dec 2011 09:40:56 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=272 Diberikan V ruang vektor atas \mathbb{R}. Suatu fungsi < , > : V \times V \rightarrow \mathbb{R} disebut hasil kali dalam (inner product) jika memenuhi empat aksioma berikut:

  1. (\forall u,v \in V) <u,v> = <v,u>
  2. (\forall u,v,w \in V) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
  3. (\forall \alpha \in \mathbb{R})(\forall u,v \in V) <\alpha u,v>= \alpha <u,v>
  4. (\forall u \in V) <u,u> \geq 0, dan <u,u>=0 jika dan hanya jika u = \theta (vektor nol)

Ruang vektor V atas \mathbb{R} yang dilengkapi dengan suatu hasil kali dalam disebut dengan ruang hasil kali dalam (inner product space).

Contoh:

  1. Ruang vektor \mathbb{R}^2 atas \mathbb{R} merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam <u,v> = a_1b_1 + a_2b_2, untuk u=(a_1,a_2), v=(b_1,b_2) \in \mathbb{R}^2. Juga merupakan ruang hasil kali dalam dengan  <u,v> = 2a_1b_1 + 3a_2b_2.
  2. Secara umum, ruang vektor \mathbb{R}^n atas \mathbb{R} merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam <u,v> = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n, untuk u=(a_1,a_2,...,a_n), v=(b_1,b_2,...,b_n) \in \mathbb{R}^n. Ruang hasil kali dalam  \mathbb{R}^n terhadap hasil kali dalam tersebut dinamakan dengan Ruang Euclid (Euclidean Space).
]]> http://zaki.math.web.id/2011/12/15/ruang-hasil-kali-dalam-inner-product-space/feed/ KRIPTOGRAFI PADA PERANG DUNIA I: SANDI PLAYFAIR http://zaki.math.web.id/2011/12/12/kriptografi-pada-perang-dunia-i-sandi-playfair/ http://zaki.math.web.id/2011/12/12/kriptografi-pada-perang-dunia-i-sandi-playfair/#comments Mon, 12 Dec 2011 01:11:15 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=258 Sandi Playfair digunakan oleh Tentara Inggris pada saat Perang Boer II dan Perang Dunia I. Ditemukan pertama kali oleh Sir Charles Wheatstone dan Baron Lyon Playfair pada tanggal 26 Maret 1854. Playfair merupakan digraphs cipher, artinya setiap proses enkripsi dilakukan pada setiap dua huruf. Misalkan plainteksnya “KRIPTOLOGI”, maka menjadi “KR - IP - TO - LO - GI”. Playfair menggunakan tabel 5×5. Semua alfabet kecuali J diletakkan ke dalam tabel. Huruf J dianggap sama dengan huruf I, sebab huruf J mempunyai frekuensi kemunculan yang paling kecil. Kunci yang digunakan berupa kata dan tidak ada huruf sama yang berulang. Apabila kuncinya “MATAHARI”, maka kunci yang digunakan adalah “MATHRI”. Selanjutnya, kunci dimasukkan ke dalam tabel 5×5, isian pertama adalah kunci, selanjutnya tulis huruf-huruf berikutnya secara urut dari baris pertama dahulu, bila huruf telah muncul, maka tidak dituliskan kembali.

Playfair Matriks

Berikut ini aturan-aturan proses enkripsi pada Sandi Playfair…

  1. Jika kedua huruf tidak terletak pada baris dan kolom yang sama, maka huruf pertama menjadi huruf yang sebaris dengan huruf pertama dan sekolom dengan huruf kedua. Huruf kedua menjadi huruf yang sebaris dengan huruf kedua dan sekolom dengan huruf pertama. Contohnya, SA menjadi PH, BU menjadi EP.
  2. Jika kedua huruf terletak pada baris yang sama maka huruf pertama menjadi huruf setelahnya dalam baris yang sama, demikian juga dengan huruf kedua. Jika terletak pada baris kelima, maka menjadi baris pertama, dan sebaliknya. Arahnya tergantung dari posisi huruf pertama dan kedua, pergeserannya ke arah huruf kedua. Contohnya, AH menjadi TR, LK menjadi KG, BE menjadi CI.
  3. Jika kedua huruf terletak pada kolom yang sama maka huruf pertama menjadi huruf setelahnya dalam kolom yang sama, demikian juga dengan huruf kedua. Jika terletak pada kolom kelima, maka menjadi kolom pertama, dan sebaliknya. Arahnya tergantung dari posisi huruf pertama dan kedua, pergeserannya ke arah huruf kedua. Contohnya, DS menjadi LY, PA menjadi GW, DH menjadi HY.
  4. Jika kedua huruf sama, maka letakkan sebuah huruf di tengahnya (sesuai kesepakatan).
  5. Jika jumlah huruf plainteks ganjil, maka tambahkan satu huruf pada akhirnya, seperti pada aturan ke-4.

Sedangkan proses dekripsinya adalah kebalikan dari proses enkripsi. Contohnya, HR didekrip menjadi HT, BS didekrip menjadi DP, ZU didekrip menjadi RZ.

Untuk penjelasan selengkapnya dan latihan soal enkripsi-dekripsi sandi Playfair dapat dipelajari dalam paper berikut: kssy-sandi_playfair.pdf (21 kb, pdf)

]]> http://zaki.math.web.id/2011/12/12/kriptografi-pada-perang-dunia-i-sandi-playfair/feed/ My Ubuntu Desktop http://zaki.math.web.id/2011/12/09/my-ubuntu-desktop/ http://zaki.math.web.id/2011/12/09/my-ubuntu-desktop/#comments Thu, 08 Dec 2011 23:18:16 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=256 My Ubuntu Desktop
My Linux desktop with Ubuntu 10.10 (with Macbuntu, Docky & Compiz)

]]> http://zaki.math.web.id/2011/12/09/my-ubuntu-desktop/feed/ Matriks Representasi Transformasi Linear http://zaki.math.web.id/2011/12/07/matriks-representasi-transformasi-linear/ http://zaki.math.web.id/2011/12/07/matriks-representasi-transformasi-linear/#comments Wed, 07 Dec 2011 10:49:06 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=186 Hmmm…. dari judulnya mungkin sudah bisa ditebak, yaitu apa? hehe… Yupz, ternyata sebarang transformasi linear itu dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks lho, percaya ndak? Kalo gk percaya silahkan cekidot!

Sebelumnya ane kasih contoh dulu gan, diberikan \mathbb{R}^3 dan \mathbb{R}^2 keduanya ruang vektor atas \mathbb{R} terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan B_1 = \lbrace (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^3 dan B_2 = \lbrace (1,0),(0,1) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^2.

Untuk (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, diperoleh bahwa

(x,y,z) = \alpha_1(1,0,0)+\alpha_2(0,1,0)+\alpha_3(0,0,1)

dengan \alpha_1 = x, \alpha_2 = y dan \alpha_3 = z.

Untuk (p,q) \in \mathbb{R}^2, diperoleh bahwa
(p,q) = \beta_1(1,0)+\beta_2(0,1)
dengan \beta_1 = p dan \beta_2 = q.

Diberikan transformasi linear T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 dengan definisi T(x,y,z) = (x+y,y+z). Ternyata, transformasi linear T dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks dengan vektor kolom berikut:

\left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x+y \\ y+z \end{array} \right]

Nah, matriks A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] tersebut nantinya dinamakan dengan matriks representasi dari transformasi linear T. Nilai dari matriks A tersebut ditentukan oleh basis B_1 dan B_2. Koq bisa? hmmm… Biar penasaran, perhatikan uraian berikut ini. Perhatikan benar-benar ya, karena tulisannya bikin pusing dan ruwet, padahal sebenarnya sederhana, cuman ya begitulah, hehe… :D

Secara umum, diberikan V dan W ruang vektor atas lapangan (field) F. Misalkan:

  • B_V = \lbrace v_1, v_2, ... , v_n \rbrace basis untuk V
  • B_W = \lbrace w_1, w_2, ... , w_m \rbrace basis untuk W.

Artinya, untuk sebarang v \in V dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear v = \alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n, untuk suatu \alpha_i \in F, i=1,2,...,n, dan demikian juga untuk sebarang w \in W dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear w = \beta_1w_1 + \beta_2w_2 + ... + \beta_mw_m, untuk suatu \beta_i \in F, i=1,2,...,m.

Diberikan transformasi linear T:V \rightarrow W. Diambil sebarang v \in V, maka v = \alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n, untuk suatu \alpha_i \in F, i=1,2,...,n. Karena T(v) \in W, maka T(v) = \beta_1w_1 + \beta_2w_2 + ... + \beta_mw_m, untuk suatu \beta_i \in F, i=1,2,...,m. Selanjutnya, diperoleh:

T(v) = T(\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n)
        = T(\alpha_1v_1) + T(\alpha_2v_2) + ... + T(\alpha_nv_n)
        = \alpha_1T(v_1) + \alpha_2T(v_2) + ... + \alpha_nT(v_n)

Diketahui T(v_1), T(v_2), ... , T(v_n) \in W dan B_W basis untuk W, maka

T(v_1) = a_{11}w_1 + a_{21}w_2 + ... + a_{m1}w_m
T(v_2) = a_{12}w_1 + a_{22}w_2 + ... + a_{m2}w_m
      \vdots
T(v_n) = a_{1n}w_1 + a_{2n}w_2 + ... + a_{mn}w_m

untuk suatu a_{ij} \in F, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n.

Dari sini diperoleh bahwa:
T(v) = \alpha_1T(v_1) + \alpha_2T(v_2) + ... + \alpha_nT(v_n)
        = \alpha_1(a_{11}w_1 + a_{21}w_2 + ... + a_{m1}w_m) + \alpha_2(a_{12}w_1 + a_{22}w_2 + ... + a_{m2}w_m)
            + ... + \alpha_n(a_{1n}w_1 + a_{2n}w_2 + ... + a_{mn}w_m)

        = \alpha_1a_{11}w_1 + \alpha_1a_{21}w_2 + ... + \alpha_1a_{m1}w_m + \alpha_2a_{12}w_1 + \alpha_2a_{22}w_2 + ... + \alpha_2a_{m2}w_m
            + ... + \alpha_na_{1n}w_1 + \alpha_na_{2n}w_2 + ... + \alpha_na_{mn}w_m

        = \alpha_1a_{11}w_1 + \alpha_2a_{12}w_1 + ... + \alpha_na_{1n}w_1 + \alpha_1a_{21}w_2 + \alpha_2a_{22}w_2 + ... + \alpha_na_{2n}w_2
            + ... + \alpha_1a_{m1}w_m + \alpha_2a_{m2}w_m + ... + \alpha_na_{mn}w_m

        = (\alpha_1a_{11} + \alpha_2a_{12} + ... + \alpha_na_{1n})w_1 + (\alpha_1a_{21} + \alpha_2a_{22}+ ... + \alpha_na_{2n})w_2
            + ... + (\alpha_1a_{m1}+ \alpha_2a_{m2} + ... + \alpha_na_{mn})w_m

Di lain pihak, diketahui bahwa T(v) = \beta_1w_1 + \beta_2w_2 + ... + \beta_mw_m. Akibatnya apa coba hayooo? Yupz, dapat diperoleh bahwa:

\beta_1 = \alpha_1a_{11} + \alpha_2a_{12} + ... + \alpha_na_{1n}
\beta_2 = \alpha_1a_{21} + \alpha_2a_{22}+ ... + \alpha_na_{2n}
      \vdots
\beta_m = \alpha_1a_{m1}+ \alpha_2a_{m2} + ... + \alpha_na_{mn}

atau

\beta_1 = a_{11}\alpha_1 + a_{12}\alpha_2 + ... + a_{1n}\alpha_n
\beta_2 = a_{21}\alpha_1 + a_{22}\alpha_2 + ... + a_{2n}\alpha_n
      \vdots
\beta_m = a_{m1}\alpha_1+ a_{m2}\alpha_2 + ... + a_{mn}\alpha_n

Apabila dituliskan menggunakan perkalian matriks dengan vektor kolom, diperoleh sebagai berikut:

\left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_m \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right]

Matriks A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] tersebut dinamakan dengan matriks representasi dari transformasi linear T:V \rightarrow W relatif terhadap basis B_V dan B_W.

Gimana, udah jelas belon? Kalo masih bingung silahkan jongkok! hahaha… :D Untuk latihan, ini ane kasih soal sederhana saja kayak tadi di awal.

Latihan Soal: Diberikan \mathbb{R}^3 dan \mathbb{R}^2 keduanya ruang vektor atas \mathbb{R} terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan B'_1 = \lbrace (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^3 dan B'_2 = \lbrace (2,0),(0,3) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^2. Tentukan matriks representasi dari transformasi linear T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 dengan definisi T(x,y,z) = (x+y,y+z) terhadap basis B'_1 dan B'_2. Kalo udah, coba hitunglah T(1,2,3) menggunakan definisi T dan menggunakan matriks representasi, harusnya jawabannya sama! kalo gk sama berarti ada yg ngaco! hehe… :mrgreen:

Ya udah, daripada gk tahu apa yg mau dikerjakan, mendingan ane kerjakan aja, hehe… Diketahui B'_2 = \lbrace (2,0),(0,3) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^2. Untuk (p,q) \in \mathbb{R}^2, diperoleh bahwa

(p,q) = \beta_1(2,0)+\beta_2(0,3)
dengan \beta_1 = \frac{p}{2} dan \beta_2 = \frac{q}{3}. Diketahui B'_1 = \lbrace (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^3, dihitung:

T(1,0,0) = (1+0,0+0) = (1,0) = \frac{1}{2}(2,0) + 0(0,3)
T(0,2,0) = (0+2,2+0) = (2,2) = 1(2,0) + \frac{2}{3}(0,3)
T(0,0,3) = (0+0,0+3) = (0,3) = 0(2,0) + 1(0,3)

Dari sini diperoleh matriks representasi dari T yaitu A = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right] .

Selanjutnya, menggunakan definisi T dapat dihitung T(1,2,3) = (1+2,2+3) = (3,5). Apabila dihitung menggunakan matriks A, perhatikan langkah-langkah berikut. Diketahui B'_1 = \lbrace (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) \rbrace merupakan basis untuk \mathbb{R}^3, maka (1,2,3) = 1(1,0,0) + 1(0,2,0) + 1(0,0,3), diperoleh \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 1. Menggunakan matriks A diperoleh:

\left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ \frac{5}{3} \end{array} \right]

Dari sini diperoleh \beta_1 = \frac{3}{2} dan \beta_2 = \frac{5}{3}. Nah, akibatnya diperoleh bahwa T(1,2,3) = \beta_1(2,0) + \beta_2(0,3) = \frac{3}{2}(2,0) + \frac{5}{3}(0,3) = (3,5). Yupzz!! ternyata diperoleh hasil yg sama! :)

Nah, setelah ane kasih contoh soal dan penyelesainnya, sekarang giliran ane yg ngasih soal, sebenarnya masih gampang koq.

SOAL: Diberikan \mathbb{R}^3 dan \mathbb{R}^2 keduanya ruang vektor atas \mathbb{R} terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan B_1 = \lbrace (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^3 dan B_2 = \lbrace (1,2),(0,3) \rbrace basis untuk \mathbb{R}^2. Tentukan matriks representasi dari transformasi linear T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 dengan definisi T(x,y,z) = (x+2y-z,x-y+3z) terhadap basis B_1 dan B_2. Kalo udah, coba hitunglah T(1,2,3) menggunakan definisi T dan menggunakan matriks representasi yang diperoleh.

Selamat belajar, jangan lupa makan dulu biar kagak laper, hehe… :)
(Ditulis di gedung unit D lt.4, Kampus III UAD Yogyakarta, 7 Desember 2011, pukul 17.54)

]]> http://zaki.math.web.id/2011/12/07/matriks-representasi-transformasi-linear/feed/ KRIPTOGRAFI PADA PERANG DUNIA I: SANDI ADFGVX http://zaki.math.web.id/2011/12/07/kriptografi-pada-perang-dunia-i-sandi-adfgvx/ http://zaki.math.web.id/2011/12/07/kriptografi-pada-perang-dunia-i-sandi-adfgvx/#comments Wed, 07 Dec 2011 07:44:22 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=159 Sandi ADFGVX digunakan oleh Tentara Jerman pada Perang Dunia I. Ditemukan pertama kali oleh Kolonel Fritz Nobel pada Maret 1918. ADFGVX menggunakan tabel 6×6 yang berisi 26 huruf dan 10 angka (0-9). Enkripsinya terdiri dari dua proses, yaitu proses substitusi dan proses transposisi. Setiap proses membutuhkan sebuah kunci. Huruf A, D, F, G, V, dan X dipilih karena mudah dikirimkan menggunakan Sandi Morse. Mengenai cara enkripsi dan dekripsi dari Sandi ADFGVX dapat dibaca dan dipelajari selengkapnya pada paper berikut ini: kssy-sandi_adfgvx.pdf (21 Kb, pdf). Selamat mencoba! :mrgreen:

]]> http://zaki.math.web.id/2011/12/07/kriptografi-pada-perang-dunia-i-sandi-adfgvx/feed/ Konferensi Nasional Matematika (KNM) XVI, Universitas Padjadjaran, Tanggal 3-6 Juli 2012 http://zaki.math.web.id/2011/12/05/konferensi-nasional-matematika-knm-xvi-universitas-padjadjaran-tanggal-3-6-juli-2012/ http://zaki.math.web.id/2011/12/05/konferensi-nasional-matematika-knm-xvi-universitas-padjadjaran-tanggal-3-6-juli-2012/#comments Mon, 05 Dec 2011 02:12:12 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=142 Konferensi Nasional Matematika merupakan kegiatan rutin yang diselenggarakan sejak tahun 1976 oleh IndoMS bekerjasama dengan Jurusan Matematika di berbagai Perguruan Tinggi di Indonesia. Sejak tahun 2000 KNM diselenggarakan setiap dua tahun sekali secara bergiliran. Pada tahun 2012 Konferensi Nasional Matematika merupakan konferensi yang ke-16. Konferensi tersebut akan diselenggarakan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran pada tanggal 3-6 Juli 2012. KNM ke-16 tahun 2012 merupakan Konferensi yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika Unpad untuk kedua kalinya setelah penyelenggaraan yang pertama pada tahun 1991.

Perkembangan Matematika yang semakin pesat, baik dalam proses pembelajaran maupun dalam pengembangan penelitian dan penerapannya, perlu dikomunikasikan dalam bentuk konferensi. Tujuan diadakannya Konferensi Nasional Matematika XVI ini adalah untuk mendiseminasikan dan mempublikasikan hasil-hasil penelitian tersebut di atas.

Pada penyelenggaraan tahun ini, Konferensi Nasional Matematika XVI mengangkat tema “Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa”. Konferensi tersebut terbuka bagi dosen-dosen, guru-guru, peneliti dan peminat matematika di seluruh Indonesia untuk mempresentasikan hasil-hasil penelitiannya.

Download Leaflet (PDF)
Info selengkapnya di website KNM XVI: http://knm16.unpad.ac.id/

]]> http://zaki.math.web.id/2011/12/05/konferensi-nasional-matematika-knm-xvi-universitas-padjadjaran-tanggal-3-6-juli-2012/feed/ Berkenalan dengan Grup Siklik http://zaki.math.web.id/2011/11/25/berkenalan-dengan-grup-siklik/ http://zaki.math.web.id/2011/11/25/berkenalan-dengan-grup-siklik/#comments Fri, 25 Nov 2011 14:25:49 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=103 Dalam mempelajari Teori Grup, kita sudah dikenalkan dengan berbagai macam macam grup, contohnya seperti dua grup berikut ini:

  • Grup \mathbb{Z}_n = \lbrace 0,1,2,...,n-1 \rbrace (terhadap operasi penjumlahan modulo n)
  • Grup \mathbb{Z}_p^{*} = \lbrace 1,2,3,...,p-1 \rbrace , dengan p prima (terhadap operasi perkalian madulo p)

Perhatikan grup \mathbb{Z}_4 = \lbrace 0,1,2,3 \rbrace , ternyata setiap anggota dari \mathbb{Z}_4 dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan sebanyak berhingga dari 1 \in \mathbb{Z}_4 , yaitu:

  • 0 = 1+1+1+1
  • 1 = 1
  • 2 = 1+1
  • 3 = 1+1+1

Selanjutnya, perhatikan grup \mathbb{Z}_5^* = \lbrace 1,2,3,4 \rbrace , ternyata setiap anggota dari \mathbb{Z}_5^* dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sebanyak berhingga dari 2 \in \mathbb{Z}_5^* , yaitu:

  • 1 = 2.2.2.2
  • 2 = 2
  • 3 = 2.2.2
  • 4 = 2.2

Notasi: Diberikan grup (G,*) dan g \in G. Untuk n \in \mathbb{N} didefinisikan:

  • g^n = g*g*...*g (sebanyak n kali/faktor)
  • g^{-n} = (g^{-1})^n = (g^{-1}) * (g^{-1}) *...* (g^{-1}) (sebanyak n kali/faktor)
  • g^0 = e (elemen identitas)

Sifat: Untuk n,m \in \mathbb{Z} berlaku g^n * g^m = g^{n+m} dan (g^n)^m = g^{nm} .

Nah, hal ini memotivasi suatu grup yang mempunyai sifat seperti pada kedua contoh di atas, yang selanjutnya dinamakan dengan grup siklik, seperti diberikan dalam definisi berikut:

Definisi: Suatu grup (G,*) disebut dengan grup siklik jika terdapat suatu g \in G sedemikian hingga untuk setiap a \in G dapat dinyatakan sebagai a = g^n, untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Elemen g \in G tersebut dinamakan dengan pembangun atau generator dari grup G. Suatu grup siklik G yang dibangun oleh g \in G  dinotasikan dengan G = <g>.

Contoh grup siklik adalah  \mathbb{Z}_4 dan   \mathbb{Z}_5^* , sebab  \mathbb{Z}_4 = <1> dan   \mathbb{Z}_5^* = <2> . Elemen pembangun dari suatu grup siklik itu tidak tunggal, dapat ditunjukkan bahwa  \mathbb{Z}_4 = <3>  dan  \mathbb{Z}_5^* = <3>

Teorema: Jika  (G,*) grup siklik, maka G grup abelian (komutatif).

Bukti: Diketahui G grup siklik, misalkan G = <g>. Diambil sebarang a,b \in G, akan ditunjukkan bahwa a*b = b*a. Diketahui a,b \in G dan G = <g>. Akibatnya a=g^n dan b=g^m, untuk suatu n,m \in \mathbb{Z}. Diperoleh bahwa

a*b = g^n * g^m = g^{n+m} = g^{m+n} = g^m * g^n = b*a
Dengan demikian, terbukti bahwa G merupakan grup abelian.

Akibat dari teorema tersebut adalah bahwa setiap grup yang tidak abelian (non-komutatif) pasti bukan grup siklik. Oleh karena itu, contoh grup yang bukan grup siklik yaitu grup permutasi S_n, n>2 dan grup matriks invertibel GL_n(\mathbb{R}), untuk n>1.

Pertanyaannya sekarang adalah: :D

  1. Apakah ada grup abelian yang bukan grup siklik?
  2. Apakah setiap subgrup dari suatu grup siklik selalu merupakan grup siklik?
]]> http://zaki.math.web.id/2011/11/25/berkenalan-dengan-grup-siklik/feed/ Curhat tentang Rahasia http://zaki.math.web.id/2011/11/25/curhat-tentang-rahasia/ http://zaki.math.web.id/2011/11/25/curhat-tentang-rahasia/#comments Fri, 25 Nov 2011 03:18:05 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=97 Sadar maupun tidak sadar, setiap orang pasti mempunyai suatu rahasia, entah itu masalah pribadi, catatan harian yg isinya curhat semua, nomor pin ATM, sampe password email, biasanya semua itu bersifat rahasia, dan tidak boleh ada yg tahu selain dirinya. Seandainya ada orang lain yang boleh tahu, tentu orang itu sudah sangat dipercaya yang tidak akan mungkin membocorkan rahasia tersebut. Suatu keluarga, pasti juga punya rahasia, entah itu berupa masalah keluarga, informasi keuangan/anggaran rumah tangga, sampai hal-hal pribadi yang hanya diketahui oleh suami dan istri saja. Seorang guru yang membuat soal ujian, bila soal belum diujikan tentu soal ujian tersebut bersifat rahasia, murid tidak boleh mengetahui soal tersebut sebelum waktunya diujikan. Begitu juga dengan sekolah, instansi, perusahaan, kerajaan, hingga negara, sudah pasti semuanya itu mempunyai rahasia.

Apabila rahasia tersebut bocor ke tangan pihak yang tidak berhak mengetahui rahasia tersebut, tentu akan sangat merugikan, seperti dapat mengancam keharmonisan keluarga, merusak reputasi seseorang, kebangkrutan suatu perusahaan, hingga mengancam keamanan negara. Bahkan jika negera tersebut sedang mengalami peperangan dengan negara lain, bila informasi rahasia berupa taktik perang jatuh ke tangan musuh, maka kekalahan sudah ada di depan mata. Oleh karena itu, informasi rahasia mutlak untuk diamankan serapat mungkin.

Bagaimana rahasia tersebut bisa bocor? Suatu informasi biasanya dibutuhkan oleh lebih dari satu pihak, seperti suami dengan istri, keluarga dengan keluarga lain, perusahaan dengan perusahaan lain, pegawai dengan perusahaan, menteri dengan presiden, presiden dengan panglima TNI, dan sebagainya. Dari sinilah ancaman itu muncul, suatu informasi rahasia harus dikirimkan dari suatu tempat ke tempat lain. Cara yang paling aman adalah kedua pihak yang saling berkomunikasi bertemu langsung dan bertukar informasi langsung, seperti berbisik mendekat ke telinga. Hal ini dilakukan agar tidak ada pihak lain yang mengetahui informasi rahasia tersebut. Akan tetapi dalam kenyataannya, kedua belah pihak yang berkomunikasi tidak dapat bertemu langsung sebab terpaut jarak yang jauh, seperti di Jogja dan Jakarta atau di Jakarta dan New York. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan menggunakan pihak ketiga yang dipercaya oleh kedua belah pihak sebagai kurir, yaitu pihak perantara yang bertugas mengirimkan informasi rahasia tersebut. Kurir harus dapat dipercaya, jika salah memilih kurir bisa berakibat fatal.

Di era kecanggihan teknologi informasi seperti saat ini, memungkinkan kita untuk bertukar informasi rahasia dari jarak yang sangat jauh menjadi lebih cepat. Sebagai contoh, kita dapat menggunakan telepon untuk berbincang-bincang, menggunakan SMS, hingga Fax. Menggunakan internet kita dapat berkirim surat melalui email, atau berkomunikasi dengan chatting, dan sebagainya. Namun, dibalik semua kecanggihan teknologi informasi tersebut, tersimpan suatu ancaman keamanan informasi rahasia yang sangat serius, ancaman itu sungguh sangat nyata!

Bersambung…

]]> http://zaki.math.web.id/2011/11/25/curhat-tentang-rahasia/feed/ Koleksi Terbaru File ISO Linux http://zaki.math.web.id/2011/11/24/koleksi-terbaru-file-iso-linux/ http://zaki.math.web.id/2011/11/24/koleksi-terbaru-file-iso-linux/#comments Thu, 24 Nov 2011 08:51:51 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=91 Barusan saya selesai download file iso dari beberapa distro linux terbaru, tapi 32 bit semua lho gan, hehe… Ini hanya sekedar koleksi, saya masih tetap nyaman bekerja di Ubuntu 10.10. Ini daftar selengkapnya gan:

  • Ubuntu 10.10 (desktop)
  • Ubuntu 10.10 (netbook)
  • Ubuntu 11.10 (desktop)
  • openSUSE 12.1 (dvd)
  • Mandriva 2011 (dvd)
  • BackTrack 5 R.1 (dvd, gnome)
Silahkan kalau ada yg pengen ngopi, langsung ketemu saya aja gan… :D Kalo pengen donlot sendiri, silahkan ngacir ke TKP ini:
]]> http://zaki.math.web.id/2011/11/24/koleksi-terbaru-file-iso-linux/feed/ Apa itu Quasigroup? http://zaki.math.web.id/2011/11/17/apa-itu-quasigroup/ http://zaki.math.web.id/2011/11/17/apa-itu-quasigroup/#comments Thu, 17 Nov 2011 07:13:37 +0000 zakimath http://zaki.math.web.id/?p=85 Beberapa waktu yg lalu, saya sempet membaca artikel mengenai aplikasi quasigroup pada kriptografi. Dari namanya koq ada group-nya? tentu bayangan saya itu merupakan suatu struktur aljabar semacam grup atau semigrup. Setelah buka-buka wikipedia, saya memperoleh definisi dari quasigrup sebagai berikut:

Definisi: Suatu quasigroup (Q,*) adalah suatu himpunan tidak kosong Q yang dilengkapi dengan suatu operasi biner “*” sedemikian hingga untuk setiap a,b \in Q terdapat dengan tunggal x,y \in Q sedemikian hingga a*x=b dan y*a=b.

Sebagai contoh:

  • Himpunan semua bilangan bulat \mathbb{Z} merupakan quasigroup terhadap operasi pengurangan bilangan “-“.
  • Himpunan semua bilangan real tidak nol \mathbb{R}^{*} merupakan quasigroup terhadap operasi pembagian (division).

Untuk sifat-sifat dari quasigroup, silahkan baca di: http://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup

]]> http://zaki.math.web.id/2011/11/17/apa-itu-quasigroup/feed/