zakimath’s blog

Dec

Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space)

zakimath Algebra 1 comment

Diberikan $V$ ruang vektor atas $\mathbb{R}$ . Suatu fungsi $< , > : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ disebut hasil kali dalam (inner product) jika memenuhi empat aksioma berikut:

$(\forall u,v \in V) <u,v> = <v,u>$
$(\forall u,v,w \in V) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>$
$(\forall \alpha \in \mathbb{R})(\forall u,v \in V) <\alpha u,v>= \alpha <u,v>$
$(\forall u \in V) <u,u> \geq 0$ , dan $<u,u>=0$ jika dan hanya jika $u = \theta$ (vektor nol)

Ruang vektor $V$ atas $\mathbb{R}$ yang dilengkapi dengan suatu hasil kali dalam disebut dengan ruang hasil kali dalam (inner product space).

Contoh:

Ruang vektor $\mathbb{R}^2$ atas $\mathbb{R}$ merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam $<u,v> = a_1b_1 + a_2b_2$ , untuk $u=(a_1,a_2), v=(b_1,b_2) \in \mathbb{R}^2$ . Juga merupakan ruang hasil kali dalam dengan $<u,v> = 2a_1b_1 + 3a_2b_2$ .
Secara umum, ruang vektor $\mathbb{R}^n$ atas $\mathbb{R}$ merupakan ruang hasil kali dalam terhadap hasil kali dalam $<u,v> = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$ , untuk $u=(a_1,a_2,...,a_n), v=(b_1,b_2,...,b_n) \in \mathbb{R}^n$ . Ruang hasil kali dalam $\mathbb{R}^n$ terhadap hasil kali dalam tersebut dinamakan dengan Ruang Euclid (Euclidean Space).

Aljabar Linear, Inner Product, Ruang Vektor

Dec

Matriks Representasi Transformasi Linear

zakimath Algebra Add your comment

Hmmm…. dari judulnya mungkin sudah bisa ditebak, yaitu apa? hehe… Yupz, ternyata sebarang transformasi linear itu dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks lho, percaya ndak? Kalo gk percaya silahkan cekidot!

Sebelumnya ane kasih contoh dulu gan, diberikan $\mathbb{R}^3$ dan $\mathbb{R}^2$ keduanya ruang vektor atas $\mathbb{R}$ terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan $B_1 = \lbrace (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^3$ dan $B_2 = \lbrace (1,0),(0,1) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^2$ .